Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(e)
.
(e)
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
e encontrar onde ambas são zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para que
, o numerador deve ser zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
→ Não há solução real para .
Então, temos que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para que
, o numerador deve ser zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
→ Não há solução real para .
Então, temos que
.
Passo 5
Combinando as condições encontradas:
O único ponto crítico é
.
Passo 6
Para classificar o ponto crítico
, vamos usar o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas segundas:
Calculando essas derivadas e o discriminante:
Se
e
, é um máximo local; se
e
, é um mínimo local; se
, é um ponto de sela.
Após os cálculos, encontramos que
, o que significa que
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela.
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restritos a
.
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(g) ,
.
(g)
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Maximize
restritos a
e
.