Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(e) f(x, y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2 + 1).

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e e encontrar onde ambas são zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para que , o numerador deve ser zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. → Não há solução real para .
Então, temos que .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Para que , o numerador deve ser zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. → Não há solução real para .
Então, temos que .

Passo 5

Combinando as condições encontradas:
O único ponto crítico é .

Passo 6

Para classificar o ponto crítico , vamos usar o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas segundas:
Calculando essas derivadas e o discriminante:
Se e , é um máximo local; se e , é um mínimo local; se , é um ponto de sela.
Após os cálculos, encontramos que , o que significa que é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

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