Determine o valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo. Estamos lidando com trigonometria aqui, e para resolver isso, vamos precisar saber que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre . Além disso, vamos usar algumas propriedades dos cossenos para encontrar esse valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em qualquer triângulo, a soma dos ângulos é igual a . Ou seja, se chamarmos os ângulos de , e , temos:
Nosso objetivo é maximizar a soma:

Passo 3

Para facilitar, vamos usar uma propriedade da trigonometria que diz que, para determinar o máximo dessa soma, os ângulos devem ser iguais. Isso se deve à simetria da função cosseno. Então, assumimos que o triângulo é equilátero, ou seja, todos os ângulos são iguais.

Passo 4

Em um triângulo equilátero, cada ângulo mede:
Agora, vamos calcular o cosseno de cada ângulo:

Passo 5

Somando os cossenos dos três ângulos:

Resposta

O valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo é 1,5.

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(e) .
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