Determine o valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo. Estamos lidando com trigonometria aqui, e para resolver isso, vamos precisar saber que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre
. Além disso, vamos usar algumas propriedades dos cossenos para encontrar esse valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em qualquer triângulo, a soma dos ângulos é igual a
. Ou seja, se chamarmos os ângulos de
,
e
, temos:
Nosso objetivo é maximizar a soma:
Passo 3
Para facilitar, vamos usar uma propriedade da trigonometria que diz que, para determinar o máximo dessa soma, os ângulos devem ser iguais. Isso se deve à simetria da função cosseno. Então, assumimos que o triângulo é equilátero, ou seja, todos os ângulos são iguais.
Passo 4
Em um triângulo equilátero, cada ângulo mede:
Agora, vamos calcular o cosseno de cada ângulo:
Passo 5
Somando os cossenos dos três ângulos:
Resposta
O valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo é 1,5.
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Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
(e) .
(e)
Encontre os valores extremantes de
restritos a
.
Maximize
restritos a
e
.
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.