Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar, entre todos os triângulos que têm o mesmo perímetro, aquele que tem a área máxima. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar (neste caso, maximizar) uma função sujeita a certas restrições. Então, vamos precisar montar uma função para a área do triângulo e uma condição que representa o perímetro fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um triângulo com lados , e , o perímetro é dado por:
Como o perímetro é fixo, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos maximizar a área do triângulo. Podemos usar a fórmula de Herão para a área, que é:
onde é o semiperímetro:
Para facilitar, podemos trabalhar com para evitar a raiz quadrada:

Passo 4

Vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Nesse método, queremos encontrar os valores de , e que maximizam sujeito à restrição . Definimos a função lagrangiana:
onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais da lagrangiana em relação a , , e e igualamos a zero:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:

Passo 7

Observando as três primeiras equações, vemos que todas são iguais a :
Isso implica que:
Ou seja:

Passo 8

Com e sabendo que , temos que cada lado é:
Portanto, o triângulo que maximiza a área com perímetro fixo é o triângulo equilátero.

Resposta

O triângulo de área máxima entre aqueles com o mesmo perímetro é o triângulo equilátero, onde todos os lados medem .

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