Determine os pontos críticos, caso exista, da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
. Isso envolve cálculo diferencial, principalmente trabalhando com derivadas. Vamos precisar calcular a derivada dessa função e descobrir onde ela é igual a zero, porque esses pontos onde a derivada é zero são os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é (porque a derivada de uma constante é zero)
Então, a derivada
fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
que fazem a derivada igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Para facilitar a resolução, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Passo 4
Agora temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula para resolver
é:
No nosso caso,
,
e
. Aplicando esses valores na fórmula:
Passo 5
Resolvendo as duas possibilidades:
Então, os valores de
que tornam a derivada zero são
e
.
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos conhecer os coordenadas completas desses pontos, ou seja,
.
Vamos calcular
e
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.
Exercícios relacionados
Explique como funciona a regra de L
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
converge.
Determine os pontos de máximo e mínimo, se houver, da função
.
Obtenha a derivada das funções abaixo:
;