Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série sum|an| converge, então sum an converge.

Passo 1

Então, bora lá! A questão que temos é: “Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série sum|an| converge, então sum an converge.” A gente vai trabalhar com séries e entender os tipos de convergência que elas podem ter. Vamos precisar conhecer o que é uma série absolutamente convergente e como isso garante a convergência da série original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série sum|an| converger. Quando a gente soma os valores absolutos dos termos de uma série e ela dá um resultado finito, dizemos que a série é absolutamente convergente. Isso é importante porque a convergência absoluta é uma condição mais forte do que a convergência simples.

Passo 3

Agora, precisamos conectar isso com a série original sum an. Tem um teorema na matemática que diz que se uma série é absolutamente convergente, então ela também é convergente. Ou seja, se sum|an| converge, automaticamente sum an também converge. Isso acontece porque a convergência absoluta garante que os termos não estão “oscillando” demais e somam de forma ordenada.

Passo 4

Para deixar claro, vamos ver um exemplo simples. Se temos an = 1n^2, então sum|an| = sum 1n^2 que sabemos que converge (é uma série p com p=2). Assim, a série original sum 1n^2 também converge. Esse é um caso que confirma o teorema.

Resposta

Verdadeiro. Se a série sum|an| converge, então sum an também converge.

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