Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
converge.
Passo 1
Então, bora lá! A questão que temos é: “Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
converge.” A gente vai trabalhar com séries e entender os tipos de convergência que elas podem ter. Vamos precisar conhecer o que é uma série absolutamente convergente e como isso garante a convergência da série original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série
converger. Quando a gente soma os valores absolutos dos termos de uma série e ela dá um resultado finito, dizemos que a série é absolutamente convergente. Isso é importante porque a convergência absoluta é uma condição mais forte do que a convergência simples.
Passo 3
Agora, precisamos conectar isso com a série original
. Tem um teorema na matemática que diz que se uma série é absolutamente convergente, então ela também é convergente. Ou seja, se
converge, automaticamente
também converge. Isso acontece porque a convergência absoluta garante que os termos não estão “oscillando” demais e somam de forma ordenada.
Passo 4
Para deixar claro, vamos ver um exemplo simples. Se temos
, então
que sabemos que converge (é uma série p com p=2). Assim, a série original
também converge. Esse é um caso que confirma o teorema.
Resposta
Verdadeiro. Se a série
converge, então
também converge.
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Determine os pontos críticos, caso exista, da função
.