Determine os pontos de máximo e mínimo, se houver, da função f(x) = -2 x^3 + 3 x^2 + 36 x - 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a identificar esses pontos importantes numa função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto, ou seja, como a função está subindo ou descendo.
A derivada de é calculada assim:

Passo 3

Agora, para achar os pontos críticos (onde podem estar os máximos ou mínimos), a gente iguala a derivada a zero e resolve a equação:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por -6:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de e , vamos verificar se são pontos de máximo ou mínimo usando a segunda derivada. Calculamos a segunda derivada da função:

Passo 6

Avaliaremos em cada ponto crítico:
  • Para :
Como , isso indica um ponto de máximo.
  • Para :
Como , isso indica um ponto de mínimo.

Resposta

A função possui um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

Exercícios relacionados