Determine os pontos de máximo e mínimo, se houver, da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a identificar esses pontos importantes numa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto, ou seja, como a função está subindo ou descendo.
A derivada de
é calculada assim:
Passo 3
Agora, para achar os pontos críticos (onde podem estar os máximos ou mínimos), a gente iguala a derivada a zero e resolve a equação:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por -6:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Assim, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
e
, vamos verificar se são pontos de máximo ou mínimo usando a segunda derivada. Calculamos a segunda derivada da função:
Passo 6
Avaliaremos
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, isso indica um ponto de máximo.
- Para
:
Como
, isso indica um ponto de mínimo.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos, caso exista, da função
.
Explique como funciona a regra de L
Obtenha a derivada das funções abaixo:
;
Obtenha a derivada das funções abaixo:
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