Explique como funciona a regra de L

Passo 1

Beleza, você quer entender como funciona a Regra de L’Hospital. Essa regra é usada em cálculo quando estamos tentando descobrir limites que resultam em formas indeterminadas, tipo 0/0 ou ∞/∞. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas e entender um pouco sobre limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um limite. O limite de uma função é o valor que a função se aproxima quando a variável independente se aproxima de um certo ponto. Às vezes, ao tentar calcular um limite, a gente acaba com uma forma que não dá para resolver diretamente, como 0 dividido por 0 ou infinito dividido por infinito. É aí que a Regra de L’Hospital entra.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que, se você tem um limite da forma 0/0 ou ∞/∞, você pode calcular esse limite derivando o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite do novo quociente. Ou seja, se você tem:
Então, de acordo com a regra:

Passo 4

É importante lembrar que isso só funciona se as derivadas de e existirem perto de e se o novo limite existir ou for infinito. Às vezes, pode ser necessário aplicar a regra mais de uma vez até que você consiga resolver o limite.

Passo 5

Vamos ver um exemplo rápido para fixar a ideia. Suponha que queremos calcular:
Se substituirmos , temos , uma forma indeterminada. Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite fica:

Resposta

A Regra de L’Hospital é uma ferramenta poderosa no cálculo de limites que resulta em formas indeterminadas 0/0 ou ∞/∞. Ela funciona derivando o numerador e o denominador separadamente e calculando o limite do novo quociente. Se o limite ainda for indeterminado, a regra pode ser aplicada novamente até que o limite seja resolvido.

Exercícios relacionados

Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série converge, então converge.
Obtenha a derivada das funções abaixo: ;
Determine os pontos críticos, caso exista, da função .
Determine os pontos de máximo e mínimo, se houver, da função .