Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
a) f(x, y) = x^3/3 - x^2 - 3x + y^3 - 12y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a análise da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a primeira equação para :
E a segunda equação para :
Então, os pontos críticos são as combinações desses valores de e :

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los. Para isso, utilizamos a matriz Hessiana, que é uma matriz formada pelas segundas derivadas parciais da função. Primeiro, vamos calcular essas segundas derivadas:
A matriz Hessiana é então:
Para classificar cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana :
Analisamos e :
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos aplicar isso a cada ponto crítico:
  1. Ponto (3, 2):
    Como e , é um mínimo local.
  2. Ponto (3, -2):
    Como , é um ponto de sela.
  3. Ponto (-1, 2):
    Como , é um ponto de sela.
  4. Ponto (-1, -2):
    Como e , é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • : Mínimo local
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Máximo local

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