Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e a análise da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a primeira equação para
:
E a segunda equação para
:
Então, os pontos críticos são as combinações desses valores de
e
:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los. Para isso, utilizamos a matriz Hessiana, que é uma matriz formada pelas segundas derivadas parciais da função. Primeiro, vamos calcular essas segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é então:
Para classificar cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana
:
Analisamos
e
:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos aplicar isso a cada ponto crítico:
-
Ponto (3, 2):Como
e , é um mínimo local. -
Ponto (3, -2):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (-1, 2):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (-1, -2):Como
e , é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
-
: Mínimo local -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Máximo local