Determine os pontos críticos da função f em cada um dos ítens abaixo: f(x, y, z) = x^2 + 2(y - 1)^2 + z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve derivadas parciais e o conceito de gradiente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a , e e ver onde todas elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero simultaneamente. Ou seja, vamos calcular , e e igualar cada uma a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 5

Por último, a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Resposta

O ponto crítico da função é .

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