Determine os pontos críticos da função em cada um dos ítens abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, onde usamos derivadas parciais para identificar onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a é como se estivéssemos variando apenas e mantendo constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a .
Então, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , o que dá , e a derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é zero, j�� que é tratada como constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
De forma semelhante, derivamos em relação a , que resulta em , e a derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é zero porque é constante.

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos igualar as duas derivadas a zero e resolver o sistema:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de da primeira equação na segunda equação:
Então, temos:
Vamos rearranjar essa equação:
Isso nos dá soluções para :
No entanto, não é permitido na função original porque teríamos divisão por zero. Portanto, descartamos e ficamos com .

Passo 6

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a primeira equação :

Resposta

O único ponto crítico da função é .

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos da função em cada um dos ítens abaixo:
Um sólido poroso sinterizado a base de sílica com espessura de 2 mm possui uma fração de vazios de 0,30 e tortuosidade igual a 4 . Os poros são preenchidos com água a 298 K . Em uma face, a concentração de KCl é mantida a e água fresca escoa rapidamente pela outra face. Desprezando qualquer outra resistência que não seja no sólido poroso, calcule o fluxo difusivo do KCl no estado estacionário. Dado: .
Determine os pontos críticos da função em cada um dos ítens abaixo:
Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas: