Determine os pontos críticos da função
em cada um dos ítens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, onde usamos derivadas parciais para identificar onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
é como se estivéssemos variando apenas
e mantendo
constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
.
Então, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, o que dá
, e a derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é zero, j�� que
é tratada como constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
De forma semelhante, derivamos
em relação a
, que resulta em
, e a derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é zero porque
é constante.
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos igualar as duas derivadas a zero e resolver o sistema:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de
da primeira equação na segunda equação:
Então, temos:
Vamos rearranjar essa equação:
Isso nos dá soluções para
:
No entanto,
não é permitido na função original porque teríamos divisão por zero. Portanto, descartamos
e ficamos com
.
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a primeira equação
:
Resposta
O único ponto crítico da função
é
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos da função
em cada um dos ítens abaixo:
Um sólido poroso sinterizado a base de sílica com espessura de 2 mm possui uma fração de vazios de 0,30 e tortuosidade igual a 4 . Os poros são preenchidos com água a 298 K . Em uma face, a concentração de KCl é mantida a
e água fresca escoa rapidamente pela outra face. Desprezando qualquer outra resistência que não seja no sólido poroso, calcule o fluxo difusivo do KCl no estado estacionário. Dado:
.
Determine os pontos críticos da função
em cada um dos ítens abaixo:
Encontre o máximo e o mínimo da função
sujeita as restrições dadas: