Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções: ;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos desenhar o gráfico dessa função e discutir se ela é contínua em todos os pontos. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e entender o que está acontecendo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . O valor absoluto sempre dá um número positivo, então:
Se , então .
Se , então .
Então, podemos reescrever a função assim:
Passo 3
Agora, vamos desenhar o gráfico dessa função. Para , a função vale 1, então desenhamos uma linha horizontal em para todos os positivos. Para , a função vale -1, então desenhamos uma linha horizontal em para todos os negativos. No ponto , a função também vale -1, então colocamos um ponto fechado em .
Passo 4
Vamos discutir a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pelo lado esquerdo e pelo lado direito for igual ao valor da função nesse ponto.
Para : A função é constante (1 ou -1), então é contínua em todos esses pontos.
No ponto :
O limite quando se aproxima de 0 pela direita () é 1.
O limite quando se aproxima de 0 pela esquerda () é -1.
O valor da função em 0 é -1.
Como os limites laterais são diferentes (1 ≠ -1), o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em .
Resposta
O gráfico da função consiste em uma linha horizontal em para , uma linha horizontal em para , e um ponto em . A função é contínua para todos os diferentes de zero, mas apresenta uma descontinuidade em .