Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza! A gente vai trabalhar com o gráfico e a continuidade da função definida por partes:
Vamos precisar entender como simplificar essa função e analisar se ela é contínua em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Note que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, a função fica:
Para
, podemos simplificar cancelando o
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o ponto
. A função simplificada
está definida para todos os
exceto
. No entanto, a função original define
.
Passo 4
Para verificar a continuidade em
, precisamos ver se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Calculando o limite:
Comparando com
, vemos que:
Então, a função não é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico. Para
, a função é
, que é uma reta. Em
, a função tem um ponto separado em
, diferente do ponto que estaria na reta, que seria
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos exceto em
. No gráfico, ela é representada por uma reta
com um ponto aberto em
e um ponto preenchido em
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções:
;
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Simplifique:
;
Mostre, pela definição de limite que
.