Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções: f(x)={ (x^2-4)/(x+2), x≠-2 ; 1, x=2 };

Passo 1

Beleza! A gente vai trabalhar com o gráfico e a continuidade da função definida por partes:
Vamos precisar entender como simplificar essa função e analisar se ela é contínua em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Note que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, a função fica:
Para , podemos simplificar cancelando o :

Passo 3

Agora, vamos analisar o ponto . A função simplificada está definida para todos os exceto . No entanto, a função original define .

Passo 4

Para verificar a continuidade em , precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.
Calculando o limite:
Comparando com , vemos que:
Então, a função não é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico. Para , a função é , que é uma reta. Em , a função tem um ponto separado em , diferente do ponto que estaria na reta, que seria .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos exceto em . No gráfico, ela é representada por uma reta com um ponto aberto em e um ponto preenchido em .

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