Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e determinar se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto ordinário. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de
.
A função dada é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Vamos definir:
-
→ -
→ Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Então, temos um ponto crítico em
.
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Isso acontece em:
Portanto,
também é um ponto crítico.
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico.
Para
:
Para determinar se é um máximo ou mínimo relativo, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de
.
-
Antes de 6 (por exemplo,
): A derivada é positiva, indicando que a função está crescendo. -
Depois de 6 (por exemplo,
): A derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo.
Como a derivada muda de positiva para negativa em
, isso significa que a função atinge um máximo relativo nesse ponto.
Para
:
Aqui, a derivada não está definida, mas observando o comportamento da função:
-
- Próximo a 9, por exemplo,
:
A função está diminuindo conforme se aproxima de
e atinge o valor mínimo de 0 diante desse comportamento. Porém, como
é o limite extremo do domínio da função, classificamos esse ponto como um ponto ordinário.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Máximo relativo -
: Ponto ordinário
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A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
;
Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
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