Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e determinar se cada um é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto ordinário. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de .
A função dada é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Vamos definir:
  • → Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não existe.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Então, temos um ponto crítico em .
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Isso acontece em:
Portanto, também é um ponto crítico.

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico.
Para :
Para determinar se é um máximo ou mínimo relativo, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de .
  • Antes de 6 (por exemplo, ):
    A derivada é positiva, indicando que a função está crescendo.
  • Depois de 6 (por exemplo, ):
    A derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo.
Como a derivada muda de positiva para negativa em , isso significa que a função atinge um máximo relativo nesse ponto.
Para :
Aqui, a derivada não está definida, mas observando o comportamento da função:
  • Próximo a 9, por exemplo, :
A função está diminuindo conforme se aproxima de e atinge o valor mínimo de 0 diante desse comportamento. Porém, como é o limite extremo do domínio da função, classificamos esse ponto como um ponto ordinário.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Máximo relativo
  • : Ponto ordinário

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;
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para o ponto
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.