A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação da reta normal à curva
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas para achar a inclinação da tangente e, depois, da normal. Precisamos saber sobre derivadas e a relação entre as inclinações de retas perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
que representa a inclinação da tangente em qualquer ponto
. Para isso, usamos a regra do produto, já que temos dois termos multiplicando:
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto, a derivada
é:
Calculando as derivadas individuais:
Passo 4
Substituindo
e
na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a inclinação da normal, lembramos que a normal é perpendicular à tangente. Se a inclinação da tangente é
, então a inclinação da normal
é:
Então, vamos usar a derivada
para
e calcular
.
Passo 6
A equação da reta normal usando o ponto
e a inclinação
é dada pela forma:
Substituímos
pela expressão encontrada no passo anterior.
Resposta
A equação da reta normal à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.