A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação da reta normal à curva no ponto . Aqui, estamos trabalhando com derivadas para achar a inclinação da tangente e, depois, da normal. Precisamos saber sobre derivadas e a relação entre as inclinações de retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de que representa a inclinação da tangente em qualquer ponto . Para isso, usamos a regra do produto, já que temos dois termos multiplicando: e .

Passo 3

Aplicando a regra do produto, a derivada é:
Calculando as derivadas individuais:

Passo 4

Substituindo e na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a inclinação da normal, lembramos que a normal é perpendicular à tangente. Se a inclinação da tangente é , então a inclinação da normal é:
Então, vamos usar a derivada para e calcular .

Passo 6

A equação da reta normal usando o ponto e a inclinação é dada pela forma:
Substituímos pela expressão encontrada no passo anterior.

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

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Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Calcule a derivada da função dada e determine a equação da reta tangente a curva da função no ponto dado.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.