Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Depois, vamos classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar os pontos onde a derivada da função é zero ou não existe, que são os candidatos a pontos críticos.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . Como temos uma fração, vamos usar a regra do quociente. Se temos , então a derivada é:
Aqui, e . Então, vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Primeiro, distribuímos os termos no numerador:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a derivada simplificada fica:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, igualamos o numerador a zero:
Fatorando:
Então, ou .
Agora, verificamos onde a derivada não existe, ou seja, onde o denominador é zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou .
Portanto, os pontos críticos são e . Os pontos onde a derivada não existe ( e ) não fazem parte do domínio da função, pois o denominador original seria zero nessas posições.

Passo 5

Agora, vamos classificar os pontos críticos encontrados e . Para isso, vamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
Para :
  • Escolhemos valores próximos, por exemplo, e .
Para :
Para :
Mas sabemos que para próximo a 0, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
Para :
  • Escolhemos valores próximos, por exemplo, e .
Para :
Para :
Aqui, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Máximo relativo
  • : Mínimo relativo

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