A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal à curva dada pela função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir daí, determinar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Como temos uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se , então
Aqui, e . Vamos derivar cada um:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:

Passo 4

Queremos a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabendo que a inclinação da reta tangente é , a inclinação da reta normal será o recíproco negativo disso:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde e . Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

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Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que, semanas após o início de um surto, centenas de casos novos são relatados, onde
Determine e .