A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal à curva dada pela função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir daí, determinar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Como temos uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se
, então
Aqui,
e
. Vamos derivar cada um:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Passo 4
Queremos a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabendo que a inclinação da reta tangente é
, a inclinação da reta normal será o recíproco negativo disso:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
e
. Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta normal à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que,
semanas após o início de um surto,
centenas de casos novos são relatados, onde
Determine
e
.