Determine os pontos críticos da função dada, classifiqueos (máximo local, mínimo local, inflexão) e esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Depois, vamos classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Então, vamos derivar termo por termo:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Primeiro, vamos fatorar essa expressão:
Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Para a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como , o ponto é um mínimo local.
  1. Para :
Como , o ponto é um máximo local.
  1. Para :
Como , o ponto é um mínimo local.

Passo 5

Agora que já classificamos os pontos críticos, podemos resumir:
  • : Mínimo local
  • : Máximo local
  • : Mínimo local
Para esboçar o gráfico, também seria bom verificar os valores de nesses pontos:

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo local com
  • : Máximo local com
  • : Mínimo local com
O esboço do gráfico deve mostrar esses pontos, com a função aumentando e diminuindo conforme os máximos e mínimos encontrados.

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