Determine os pontos críticos da função dada, classifiqueos (máximo local, mínimo local, inflexão) e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Depois, vamos classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender um pouco sobre o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Então, vamos derivar termo por termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Primeiro, vamos fatorar essa expressão:
Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Para a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, o ponto
é um mínimo local.
- Para
:
Como
, o ponto
é um máximo local.
- Para
:
Como
, o ponto
é um mínimo local.
Passo 5
Agora que já classificamos os pontos críticos, podemos resumir:
-
: Mínimo local -
: Máximo local -
: Mínimo local
Para esboçar o gráfico, também seria bom verificar os valores de
nesses pontos:
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Mínimo local com -
: Máximo local com -
: Mínimo local com
O esboço do gráfico deve mostrar esses pontos, com a função aumentando e diminuindo conforme os máximos e mínimos encontrados.
Exercícios relacionados
Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados:
.
Calcule
Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados:
Qual é a maior área possível de um retângulo cuja diagonal mede 5 cm ?