Qual é a maior área possível de um retângulo cuja diagonal mede 5 cm ?

Passo 1

Beleza! A gente tem um retângulo com a diagonal medindo 5 cm e queremos descobrir qual é a maior área que esse retângulo pode ter. Vamos usar conceitos de geometria, como o teorema de Pitágoras, e um pouquinho de cálculo para otimizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um retângulo, a diagonal forma um triângulo retângulo com os lados. Segundo o teorema de Pitágoras, se os lados são e , e a diagonal é , então:
Aqui, cm, então:

Passo 3

A área do retângulo é dada por:
Queremos maximizar sabendo que .

Passo 4

Para encontrar a maior área, podemos expressar em termos de usando a equação da diagonal:
Substituindo isso na fórmula da área:

Passo 5

Para maximizar a área, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Como o retângulo tem maior área quando , ou seja, quando ele é um quadrado. Então:
Calculando a área máxima:

Resposta

A maior área possível é 12,5 cm².

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