Qual é a maior área possível de um retângulo cuja diagonal mede 5 cm ?
Passo 1
Beleza! A gente tem um retângulo com a diagonal medindo 5 cm e queremos descobrir qual é a maior área que esse retângulo pode ter. Vamos usar conceitos de geometria, como o teorema de Pitágoras, e um pouquinho de cálculo para otimizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um retângulo, a diagonal forma um triângulo retângulo com os lados. Segundo o teorema de Pitágoras, se os lados são
e
, e a diagonal é
, então:
Aqui,
cm, então:
Passo 3
A área
do retângulo é dada por:
Queremos maximizar
sabendo que
.
Passo 4
Para encontrar a maior área, podemos expressar
em termos de
usando a equação da diagonal:
Substituindo isso na fórmula da área:
Passo 5
Para maximizar a área, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Como o retângulo tem maior área quando
, ou seja, quando ele é um quadrado. Então:
Calculando a área máxima:
Resposta
A maior área possível é 12,5 cm².