Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função tem inclinação zero, ou seja, onde podem estar os pontos críticos. Nossa função é
, que é um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Então, aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde
ou onde a derivada não existe. Nossa derivada é
. A função exponencial
nunca é zero, então igualamos a outra parte a zero:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
.
Começamos com a primeira derivada:
Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função tem um ponto de máximo local em
.
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, o qual é um ponto de máximo local.
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Calcule a derivada das seguintes funções:
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