Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função tem inclinação zero, ou seja, onde podem estar os pontos críticos. Nossa função é , que é um produto de duas funções: e . Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Então, aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou onde a derivada não existe. Nossa derivada é . A função exponencial nunca é zero, então igualamos a outra parte a zero:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de .
Começamos com a primeira derivada:
Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um ponto de máximo local em .

Resposta

A função possui um ponto crítico em , o qual é um ponto de máximo local.

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Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Calcule a derivada das seguintes funções:
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