Determine os Pontos Críticos das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função no intervalo de a . Pra isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função tem inclinações especiais, como máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos indica a taxa de variação da função em cada ponto. Para a função dada:
A derivada de em relação a é , e a derivada de é . Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem quando a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada existe para todo , então só precisamos resolver quando ela é igual a zero:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de no intervalo de a que satisfazem . Sabemos que o cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrantes. Os ângulos que atendem essa condição são:

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

.
Determinar a derivada das funções:
Determine os Pontos Críticos das funções abaixo: