Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, mais especificamente à análise de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero e depois analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico , vamos classificá-lo. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana da função e analisar seu determinante.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto crítico :
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana :

Passo 5

O determinante nos ajuda a classificar o ponto crítico:
  • Se e , é um ponto mínimo local.
  • Se e , é um ponto máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o teste não nos ajuda a classificar o ponto . Precisamos analisar a função de outra maneira.

Passo 6

Vamos observar o comportamento da função perto do ponto :
  • Se escolhermos valores de , a função fica , que é crescente para e decrescente para .
  • Se escolhermos valores de , a função fica , que é sempre não negativa e mínima em .
Isso indica que o ponto é um ponto de sela, pois a função tem comportamento diferente em direções diferentes ao redor desse ponto.

Resposta

O único ponto crítico da função é , que é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Seja , onde é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de para os quais podemos afirmar que é extremo absoluto (global) de ?
A temperatura num ponto do espaço é dada por . Determine os pontos da esfera onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com de papelão.