Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, mais especificamente à análise de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero e depois analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico
, vamos classificá-lo. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana da função e analisar seu determinante.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto crítico
:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana
:
Passo 5
O determinante
nos ajuda a classificar o ponto crítico:
- Se
e , é um ponto mínimo local. - Se
e , é um ponto máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o teste não nos ajuda a classificar o ponto
. Precisamos analisar a função de outra maneira.
Passo 6
Vamos observar o comportamento da função perto do ponto
:
- Se escolhermos valores de
, a função fica , que é crescente para e decrescente para . - Se escolhermos valores de
, a função fica , que é sempre não negativa e mínima em .
Isso indica que o ponto
é um ponto de sela, pois a função tem comportamento diferente em direções diferentes ao redor desse ponto.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
, que é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico
com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de
para os quais podemos afirmar que
é extremo absoluto (global) de
?
b) Para cada valor de
A temperatura num ponto
do espaço é dada por
. Determine os pontos da esfera
onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
j)
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com
de papelão.