Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a inclinação da função é zero. Depois, vamos classificar esses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso porque os pontos críticos ocorrem onde essas derivadas são iguais a zero.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a primeira equação:
Então, temos duas possibilidades para : e .

Passo 5

Vamos substituir cada valor de na segunda equação para encontrar o correspondente valor de .
Para :
Para :

Passo 6

Então, encontramos dois pontos críticos:
Agora, vamos classificar cada um desses pontos, ou seja, determinar se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 7

Para classificar os pontos críticos, usamos a segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 8

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
Para :
Novamente, , então este também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . Ambos são pontos de sela.

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.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Verifique que a função satisfaz a equação de onda .