Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a inclinação da função é zero. Depois, vamos classificar esses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a
e
. Isso porque os pontos críticos ocorrem onde essas derivadas são iguais a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a primeira equação:
Então, temos duas possibilidades para
:
e
.
Passo 5
Vamos substituir cada valor de
na segunda equação para encontrar o correspondente valor de
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Então, encontramos dois pontos críticos:
Agora, vamos classificar cada um desses pontos, ou seja, determinar se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 7
Para classificar os pontos críticos, usamos a segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
O determinante da matriz Hessiana
é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para
:
Novamente,
, então este também é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
. Ambos são pontos de sela.
Exercícios relacionados
Seja
uma função que dá a temperatura do ponto
do plano. Em que ponto da região
a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique.
Esboce a região
e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Verifique que a função
satisfaz a equação de onda
.