Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeira equação:
Podemos fatorar:
Então,
ou
.
Segunda equação:
Podemos dividir todos os termos por 4:
Agora, vamos considerar os casos:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Factoring:
Então,
ou
.
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é:
Vamos calcular
em cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Como
e
, o ponto é um máximo relativo.
- Ponto (0, 2):
Como
e
, o ponto é um mínimo relativo.
- Ponto (0, -2):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (
, 1):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (-
, 1):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
-
: Máximo relativo -
: Mínimo relativo -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela -
: Ponto de sela
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Seja
uma função que dá a temperatura do ponto
do plano. Em que ponto da região
a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique.
Verifique que a função
satisfaz a equação de onda
.
Determine o valor-verdade de cada uma das seguintes proposições:
e 2 é par