Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeira equação:
Podemos fatorar:
Então, ou .
Segunda equação:
Podemos dividir todos os termos por 4:
Agora, vamos considerar os casos:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Factoring:
Então, ou .
Portanto, os pontos críticos são , e .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é:
Vamos calcular em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
Como e , o ponto é um máximo relativo.
  1. Ponto (0, 2):
Como e , o ponto é um mínimo relativo.
  1. Ponto (0, -2):
Como , o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto ( , 1):
Como , o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (- , 1):
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • : Máximo relativo
  • : Mínimo relativo
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela

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