Verifique que a função u(x, t)=sen(a-x t) satisfaz a equação de onda partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2.

Passo 1

Então, galera, a gente tem um exercício de física matemática aqui. A tarefa é verificar se a função satisfaz a equação de onda dada por . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação ao tempo e à posição , e depois verificar se a equação é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partial upartial t = ddt sin(a - x t) = cos(a - x t) cdot (-x) = -x cos(a - x t) em relação ao tempo . Lembra que a derivada de é multiplicada pela derivada interna.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 upartial t^2 = ddt ( -x cos(a - x t) ) = -x cdot ( -sin(a - x t) cdot x ) = x^2 sin(a - x t) em relação ao tempo :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de partial upartial x = ddx sin(a - x t) = cos(a - x t) cdot (-t) = -t cos(a - x t) em relação à posição :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada de partial^2 upartial x^2 = ddx ( -t cos(a - x t) ) = -t cdot ( -sin(a - x t) cdot t ) = t^2 sin(a - x t) em relação à posição :

Passo 6

Agora que temos x^2 sin(a - x t) = a^2 t^2 sin(a - x t) e , vamos substituir na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:

Passo 7

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por x^2 = a^2 t^2 (desde que x = a t ):
Isso implica que:

Resposta

A função satisfaz a equação de onda somente quando .

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