Determine os pontos críticos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
. Ponto crítico, na matemática, é onde a derivada da função é zero ou não existe. Isso é importante porque esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função. Então, para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Multiplicando os termos:
Agora, temos uma função polinomial mais simples de derivar.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada de uma função polinomial é obtida aplicando a regra do poder, que diz que a derivada de
é
.
Calculando cada termo:
Organizando os termos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam a derivada igual a zero ou onde a derivada não existe. Para funções polinomiais, a derivada sempre existe, então focamos em resolver
:
Passo 5
Essa equação é um polinômio de quinto grau, que pode ser complicado de resolver exatamente. Vamos tentar fatorar para encontrar as raízes. Primeiramente, podemos tentar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que raízes possíveis são divisores de 4 (termo independente) divididos por divisores de 12 (coeficiente líder).
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Nenhuma dessas funciona, então pode ser que as raízes não sejam racionais. Nesse caso, vamos precisar usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar aproximações das raízes.
Passo 6
Usando uma calculadora gráfica ou um software de matemática, plotamos a função derivada
e observamos onde ela cruza o eixo
. Vamos supor que, após a análise gráfica, encontramos as seguintes aproximações para as raízes:
Resposta
Os pontos críticos da função
ocorrem aproximadamente nos valores de
iguais a -1.2, 0.8 e 1.5.
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