Determine os pontos críticos das funções
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou onde a derivada não existe. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente, a derivada da função.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, temos que derivar a função
em relação a
. Isso significa que precisamos aplicar as regras de derivação. A função é um produto de duas funções:
e
. Então, vamos usar a Regra do Produto para derivar.
Passo 3
A Regra do Produto diz que se temos uma função
, a derivada
é
. Vamos identificar
e
:
Agora, vamos encontrar
e
:
-
- Para encontrar
, aplicamos a Regra da Cadeia: - Se
, então -
- Se
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
na Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 5
Para facilitar a resolução, vamos fatorar
da expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então,
Podemos fatorar mais um 4:
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:
-
→ Não tem solução. -
→ → -
→
Passo 7
Portanto, os pontos críticos da função são quando
e
. Para encontrar as coordenadas completas dos pontos críticos, substituímos esses valores de
na função original
.
- Para
:
Então, um ponto crítico é
.
- Para
:
Então, o outro ponto crítico é
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
.