Determine os pontos críticos das funções y = x(4 - x)^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou onde a derivada não existe. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais especificamente, a derivada da função.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, temos que derivar a função em relação a . Isso significa que precisamos aplicar as regras de derivação. A função é um produto de duas funções: e . Então, vamos usar a Regra do Produto para derivar.

Passo 3

A Regra do Produto diz que se temos uma função , a derivada é . Vamos identificar e :
Agora, vamos encontrar e :
  • Para encontrar , aplicamos a Regra da Cadeia:
    • Se , então

Passo 4

Agora, substituímos , , na Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 5

Para facilitar a resolução, vamos fatorar da expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então,
Podemos fatorar mais um 4:

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:
  1. → Não tem solução.

Passo 7

Portanto, os pontos críticos da função são quando e . Para encontrar as coordenadas completas dos pontos críticos, substituímos esses valores de na função original .
  1. Para :
Então, um ponto crítico é .
  1. Para :
Então, o outro ponto crítico é .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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