Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para a gente analisar a função . Isso envolve encontrar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, concavidade e, no final, esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos usar derivadas primeira e segunda. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta: onde ela está aumentando ou diminuindo, e como está curvada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada primeira nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de em relação a é . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde a derivada primeira é igual a zero ou não está definida. Como nunca é zero, apenas a parte pode ser zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Para isso, vamos usar a derivada segunda.
Primeiro, encontramos a derivada segunda de . Já sabemos que:
Aplicando a regra do produto para derivar novamente:

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada segunda no ponto crítico :
Como a derivada segunda é positiva nesse ponto, isso indica que a função tem um mínimo local em .

Passo 6

Vamos agora achar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Olhando para a derivada primeira :
  • Quando , e , então : a função está crescendo.
  • Quando , e , então : a função está decrescendo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade da função usando a derivada segunda .
Primeiro, buscamos onde :
Como nunca é zero, resolvemos:
Isso não tem solução real. Então, não há pontos de inflexão.
Quanto à concavidade:
  • para todo , já que e .
Isso significa que a função é sempre côncava para cima.

Resposta

  • Ponto crítico: (mínimo local)
  • Pontos de inflexão: Nenhum
  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalos de decrescimento:
  • Concavidade: Sempre côncava para cima
  • Esboço do gráfico: [Aqui você pode desenhar uma parábola que toca o ponto mínimo em e se curva para cima em todas as direções.]

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Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
A função
define o perímetro de um retângulo cujos lados medem e .
a) Determine os extremos de .
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.