Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para a gente analisar a função
. Isso envolve encontrar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, concavidade e, no final, esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos usar derivadas primeira e segunda. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta: onde ela está aumentando ou diminuindo, e como está curvada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde a derivada primeira é igual a zero ou não está definida. Como
nunca é zero, apenas a parte
pode ser zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Para isso, vamos usar a derivada segunda.
Primeiro, encontramos a derivada segunda de
. Já sabemos que:
Aplicando a regra do produto para derivar novamente:
Passo 5
Agora, avaliamos a derivada segunda no ponto crítico
:
Como a derivada segunda é positiva nesse ponto, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Passo 6
Vamos agora achar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Olhando para a derivada primeira
:
- Quando
, e , então : a função está crescendo. - Quando
, e , então : a função está decrescendo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade da função usando a derivada segunda
.
Primeiro, buscamos onde
:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Isso não tem solução real. Então, não há pontos de inflexão.
Quanto à concavidade:
-
para todo , já que e .
Isso significa que a função é sempre côncava para cima.
Resposta
- Ponto crítico:
(mínimo local) - Pontos de inflexão: Nenhum
- Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
- Concavidade: Sempre côncava para cima
- Esboço do gráfico: [Aqui você pode desenhar uma parábola que toca o ponto mínimo em
e se curva para cima em todas as direções.]
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Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
A função
define o perímetro de um retângulo cujos lados medem
e
.
a) Determine os extremos de .
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
a) Determine os extremos de
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.