Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade e, por fim, esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as primeiras e segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento ou decrescimento. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso, nunca é zero e está definida para todos os valores de . Portanto, não existem pontos críticos nessa função.

Passo 4

Para determinar os intervalos de crescimento, analisamos o sinal da primeira derivada. Como é sempre positivo, isso significa que a função está sempre crescendo em todo o seu domínio, ou seja, para todo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função para analisar a convexidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de é:

Passo 6

Os pontos de inflexão são pontos onde a concavidade da função muda, o que ocorre quando a segunda derivada muda de sinal. Como para todos os e não há mudança de sinal, a função não possui pontos de inflexão.

Passo 7

A convexidade da função é determinada pelo sinal da segunda derivada:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
  • Se , a função não possui concavidade definida.
No nosso caso, , então a função não possui concavidade definida.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Como esta é uma função linear com coeficiente angular e intercepto em , seu gráfico é uma reta crescente que cruza o eixo no ponto .

Resposta

A função não possui pontos críticos nem pontos de inflexão. Ela está sempre crescendo em todo o seu domínio e não apresenta concavidade definida. O gráfico é uma reta crescente que intercepta o eixo no ponto .

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