Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade e, por fim, esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as primeiras e segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento ou decrescimento. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso,
nunca é zero e está definida para todos os valores de
. Portanto, não existem pontos críticos nessa função.
Passo 4
Para determinar os intervalos de crescimento, analisamos o sinal da primeira derivada. Como
é sempre positivo, isso significa que a função está sempre crescendo em todo o seu domínio, ou seja, para todo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função para analisar a convexidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de
é:
Passo 6
Os pontos de inflexão são pontos onde a concavidade da função muda, o que ocorre quando a segunda derivada muda de sinal. Como
para todos os
e não há mudança de sinal, a função não possui pontos de inflexão.
Passo 7
A convexidade da função é determinada pelo sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo. - Se
, a função não possui concavidade definida.
No nosso caso,
, então a função não possui concavidade definida.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Como esta é uma função linear com coeficiente angular
e intercepto em
, seu gráfico é uma reta crescente que cruza o eixo
no ponto
.
Resposta
A função
não possui pontos críticos nem pontos de inflexão. Ela está sempre crescendo em todo o seu domínio e não apresenta concavidade definida. O gráfico é uma reta crescente que intercepta o eixo
no ponto
.