Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade e, por fim, esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as primeiras e segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento ou decrescimento. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso,
nunca é zero e está definida para todos os valores de
. Portanto, não existem pontos críticos nessa função.
Passo 4
Para determinar os intervalos de crescimento, analisamos o sinal da primeira derivada. Como
é sempre positivo, isso significa que a função está sempre crescendo em todo o seu domínio, ou seja, para todo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função para analisar a convexidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de
é:
Passo 6
Os pontos de inflexão são pontos onde a concavidade da função muda, o que ocorre quando a segunda derivada muda de sinal. Como
para todos os
e não há mudança de sinal, a função não possui pontos de inflexão.
Passo 7
A convexidade da função é determinada pelo sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo. - Se
, a função não possui concavidade definida.
No nosso caso,
, então a função não possui concavidade definida.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Como esta é uma função linear com coeficiente angular
e intercepto em
, seu gráfico é uma reta crescente que cruza o eixo
no ponto
.
Resposta
A função
não possui pontos críticos nem pontos de inflexão. Ela está sempre crescendo em todo o seu domínio e não apresenta concavidade definida. O gráfico é uma reta crescente que intercepta o eixo
no ponto
.
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.
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b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
a) Determine os extremos de
b) Interprete as respostas do item anterior em termos do perímetro do retângulo.
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
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