Mostre que
8 sen^4 x = 3 - 4 cos 2x + 2 cos 4x
Deduza daí uma expressão para cos^4(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que:
Depois, a gente precisa usar essa igualdade pra deduzir uma expressão para . Para chegar lá, vamos usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de seno e cosseno.

Passo 2

Vamos focar no lado esquerdo da equação: . A primeira coisa que podemos fazer é reescrever usando uma identidade que reduz a potência.
Sabemos que:
Então, elevando ao quadrado pra achar :
Multiplicando tudo por 8:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar . Para isso, usamos outra identidade trigonométrica:
Aqui, , então:
Substituindo isso na expressão que tínhamos:
Ops! Parece que ficou , mas o enunciado tem . Na verdade, houve um pequeno erro na multiplicação. Vamos corrigir:
Então:
Parece que o enunciado tem , mas seguindo as identidades, o resultado correto é . Pode ser que o enunciado tenha um erro de digitação.

Passo 4

Agora, vamos usar essa ideia pra encontrar uma expressão para . Vamos aplicar um processo similar.
Sabemos que:
Elevando ao quadrado pra achar :
Multiplicando por 8 pra facilitar:

Passo 5

Vamos simplificar novamente usando a mesma identidade:
Substituindo na expressão:

Resposta

A expressão para é:

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