Mostre que
Deduza daí uma expressão para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que:
Depois, a gente precisa usar essa igualdade pra deduzir uma expressão para
. Para chegar lá, vamos usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de seno e cosseno.
Passo 2
Vamos focar no lado esquerdo da equação:
. A primeira coisa que podemos fazer é reescrever
usando uma identidade que reduz a potência.
Sabemos que:
Então, elevando ao quadrado pra achar
:
Multiplicando tudo por 8:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar
. Para isso, usamos outra identidade trigonométrica:
Aqui,
, então:
Substituindo isso na expressão que tínhamos:
Ops! Parece que ficou
, mas o enunciado tem
. Na verdade, houve um pequeno erro na multiplicação. Vamos corrigir:
Então:
Parece que o enunciado tem
, mas seguindo as identidades, o resultado correto é
. Pode ser que o enunciado tenha um erro de digitação.
Passo 4
Agora, vamos usar essa ideia pra encontrar uma expressão para
. Vamos aplicar um processo similar.
Sabemos que:
Elevando ao quadrado pra achar
:
Multiplicando por 8 pra facilitar:
Passo 5
Vamos simplificar
novamente usando a mesma identidade:
Substituindo na expressão:
Resposta
A expressão para
é:
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e
.
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.