Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os máximos/mínimos locais da função
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender onde a função tem taxas de variação nulas (pontos críticos) e se esses pontos são picos (máximos) ou vales (mínimos).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Aqui,
existe para todo
, então vamos resolver:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou m��nimos, vamos usar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Quando a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Então, vamos olhar para a derivada primeira em torno de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Como a derivada permanece negativa dos dois lados de
, não há mudança de sinal. Portanto,
não é nem máximo nem mínimo.
- Para
:
Calculando:
Como a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— sem máximo ou mínimo local. -
— mínimo local.
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.
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