Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
f(x) = 5 x^4 - 7 x^3 + 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os máximos/mínimos locais da função . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender onde a função tem taxas de variação nulas (pontos críticos) e se esses pontos são picos (máximos) ou vales (mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Aqui, existe para todo , então vamos resolver:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou m��nimos, vamos usar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Para :
Quando a segunda derivada é zero, o teste é inconclusivo. Então, vamos olhar para a derivada primeira em torno de :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
Como a derivada permanece negativa dos dois lados de , não há mudança de sinal. Portanto, não é nem máximo nem mínimo.
  1. Para :
Calculando:
Como a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • — sem máximo ou mínimo local.
  • — mínimo local.

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