Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas (x, y, z) são positivas. Esse sólido é limitado pelo cilindro e pelo plano . Para isso, vamos usar a matemática de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes assim.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração. No primeiro octante, x e y vão de 0 até os valores onde as superfícies se encontram. Como temos o plano , isso significa que y varia de 0 a 6. Para o cilindro , z varia de 0 até . Então, nosso volume será a integral dupla de z em relação a x e y sobre essa região.
Passo 3
Vamos configurar a integral para calcular o volume. Como y varia de 0 a 6 e x varia de 0 a onde é positivo, ou seja, varia de 0 a . A integral fica assim:
Passo 4
Vamos integrar em relação a y primeiro. Como não depende de y, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa e integramos em relação a x:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Então, o volume fica:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano é 500 unidades cúbicas.