Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e critérios de convergência, especificamente o Critério da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse método nos ajuda a encontrar o raio de convergência analisando o limite do termo geral da série conforme cresce.

Passo 3

O termo geral da nossa série é L = limn to infty | an+1an | . Vamos calcular o limite:

Passo 4

Substituindo L = limn to infty | (n+1) x^n+1n x^n | = limn to infty | n+1n cdot x | e :

Passo 5

Simplificando a expressão:
L = limn to infty | (1 + 1n) x | = |x|

Passo 6

Segundo o Critério da Razão, a série converge se |x| < 1 . Então:
Isso nos diz que o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência que é , ou seja, .

Passo 8

Precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.

Passo 9

Para sumn=0^infty n (1)^n = sumn=0^infty n :
Essa é uma série divergente (soma infinita de números cresce sem limite).

Passo 10

Para sumn=0^infty n (-1)^n :
Essa série também não converge, pois os termos não tendem a zero e alternam de sinal sem se estabilizar.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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