Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e critérios de convergência, especificamente o Critério da Razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse método nos ajuda a encontrar o raio de convergência analisando o limite do termo geral da série conforme cresce.
Passo 3
O termo geral da nossa série é . Vamos calcular o limite:
Passo 4
Substituindo L = limn to infty | (n+1) x^n+1n x^n | = limn to infty | n+1n cdot x | e :
Passo 5
Simplificando a expressão:
L = limn to infty | (1 + 1n) x | = |x|
Passo 6
Segundo o Critério da Razão, a série converge se |x| < 1 . Então:
Isso nos diz que o raio de convergência é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência que é , ou seja, .
Passo 8
Precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.
Passo 9
Para sumn=0^infty n (1)^n = sumn=0^infty n :
Essa é uma série divergente (soma infinita de números cresce sem limite).
Passo 10
Para sumn=0^infty n (-1)^n :
Essa série também não converge, pois os termos não tendem a zero e alternam de sinal sem se estabilizar.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .