Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os máximos ou mínimos locais da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender onde a função pode ter esses pontos especiais. Precisamos calcular a derivada da função, igualá-la a zero e analisar onde a derivada não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Lembre-se que para derivar termos como , usamos a regra do poder: .
Então, derivando cada termo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando todos os termos por para eliminar os expoentes negativos:
Resolvendo para :

Passo 4

Além de igualar a derivada a zero, precisamos verificar onde a derivada não está definida, pois esses também podem ser pontos críticos. Olhando para , vemos que a derivada não está definida quando .
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos o teste da derivada segunda.
Primeiro, encontramos a segunda derivada da função :
Simplificando:

Passo 6

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos.
Para :
Como é negativo e os expoentes são fracionários ímpares no denominador, o termo será negativo. Isso indica que a concavidade é para baixo, então é um máximo local.
Para :
A segunda derivada não está definida em , então precisamos analisar o comportamento da derivada primeira ao redor desse ponto. Observando os sinais da derivada primeira próximo a zero, percebemos que a função muda sua concavidade, indicando que é um ponto de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . O ponto é um máximo local e é um ponto de inflexão. Com essas informações, dá para esboçar o gráfico da função mostrando um pico em e uma mudança na concavidade em .

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