Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e os máximos ou mínimos locais da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender onde a função pode ter esses pontos especiais. Precisamos calcular a derivada da função, igualá-la a zero e analisar onde a derivada não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Lembre-se que para derivar termos como
, usamos a regra do poder:
.
Então, derivando cada termo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os expoentes negativos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Além de igualar a derivada a zero, precisamos verificar onde a derivada não está definida, pois esses também podem ser pontos críticos. Olhando para
, vemos que a derivada não está definida quando
.
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos o teste da derivada segunda.
Primeiro, encontramos a segunda derivada da função
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos.
Para
:
Como
é negativo e os expoentes são fracionários ímpares no denominador, o termo será negativo. Isso indica que a concavidade é para baixo, então
é um máximo local.
Para
:
A segunda derivada não está definida em
, então precisamos analisar o comportamento da derivada primeira ao redor desse ponto. Observando os sinais da derivada primeira próximo a zero, percebemos que a função muda sua concavidade, indicando que
é um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. O ponto
é um máximo local e
é um ponto de inflexão. Com essas informações, dá para esboçar o gráfico da função mostrando um pico em
e uma mudança na concavidade em
.
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Calcule a diferencial dy de cada função:
Segundo a lei de Boyle, quando um gás é comprimido a temperatura constante, o produto do volume
do gás vezes a pressão
é uma constante:
.
Uma amostra de gás em um contenedor a temperatura constante e a baixa pressão começa a ser comprimido de forma regular por 15 min . O volume decresce mais rapidamente no início ou no final dos 15 minutos? Explique.
Uma amostra de gás em um contenedor a temperatura constante e a baixa pressão começa a ser comprimido de forma regular por 15 min . O volume decresce mais rapidamente no início ou no final dos 15 minutos? Explique.
Determine
em cada caso
Ache, para os valores dados entre parênteses,
e
.