Segundo a lei de Boyle, quando um gás é comprimido a temperatura constante, o produto do volume do gás vezes a pressão é uma constante: .
Uma amostra de gás em um contenedor a temperatura constante e a baixa pressão começa a ser comprimido de forma regular por 15 min . O volume decresce mais rapidamente no início ou no final dos 15 minutos? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Lei de Boyle, que diz que, numa temperatura constante, o produto da pressão ( ) pelo volume ( ) de um gás é constante, ou seja, . Aqui, temos um gás sendo comprimido de forma constante por 15 minutos, mantendo a temperatura igual. A pergunta é: será que o volume diminui mais rápido no começo ou no final desses 15 minutos? Para resolver isso, vamos precisar entender como pressão e volume se relacionam ao longo do tempo quando a compressão acontece de maneira regular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação da Lei de Boyle:
Onde é uma constante. Isso significa que se a pressão aumenta, o volume diminui proporcionalmente, desde que a temperatura fique sempre a mesma.

Passo 3

Como a compressão é feita de forma regular, podemos pensar que a pressão está aumentando de maneira constante ao longo do tempo. Ou seja, a taxa de aumento da pressão ( ) é constante.

Passo 4

Para entender como o volume muda com o tempo, vamos derivar a equação em relação ao tempo ( ). Usando o cálculo, temos:
Como é uma constante, a derivada de em relação ao tempo é zero:

Passo 5

Agora, vamos isolar , que representa a taxa de mudança do volume ao longo do tempo:

Passo 6

Sabemos que , então podemos substituir por na equação acima:

Passo 7

Observamos que é inversamente proporcional ao quadrado da pressão ( ). Isso significa que, à medida que a pressão aumenta, a taxa de diminuição do volume ( ) diminui.

Passo 8

No início dos 15 minutos, a pressão é baixa. Como é inversamente proporcional a , quando é pequeno, é grande. Ou seja, o volume está diminuindo rapidamente.
Já no final dos 15 minutos, a pressão é maior, então é menor, indicando que o volume está diminuindo mais devagar.

Resposta

A volume do gás diminui mais rapidamente no início dos 15 minutos.

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