Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 82 usando diferenciais. Vamos usar o conceito de diferenciais, que ajuda a estimar mudanças em funções quando a variável muda um pouquinho. Para isso, precisamos saber como calcular a derivada da função raiz quadrada e escolher um ponto próximo a 82 que a gente saiba calcular facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar: . Queremos encontrar .

Passo 3

Agora, precisamos escolher um ponto próximo a 82 onde a raiz quadrada seja fácil de calcular. Um bom ponto é , porque .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada da função . A derivada de é .

Passo 5

Vamos avaliar a derivada no ponto :

Passo 6

Agora, calculamos a diferença entre o valor que queremos aproximar e o ponto escolhido: .

Passo 7

Utilizamos o diferencial para estimar a mudança na função:

Passo 8

Finalmente, somamos essa mudança ao valor da função no ponto escolhido para obter a aproximação:

Resposta

Aproximadamente, .

Exercícios relacionados

Use a aproximação linear para estimar os seguintes valores
. Dica: Use e na fórmula de aproximação linear do enunciado.
Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.