Use a aproximação linear f(a+h) ≈ f(a) + f'(a) h para estimar os seguintes valores
raiz(65, 3). Dica: Use f(x) = raiz3(x) e a = 64 na fórmula de aproximação linear do enunciado.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisamos fazer: queremos estimar o valor de usando a aproximação linear. Para isso, vamos usar a fórmula . Aqui, vamos definir e escolher . Precisamos calcular a derivada de em , encontrar o valor de , e então aplicar tudo na fórmula para chegar na nossa estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , ou seja, . Como , temos:
Isso porque .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de . Sabemos que:
A derivada de é:
Então, em :
Calculando :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de . Sabemos que:
Então:

Passo 5

Com tudo pronto, vamos aplicar a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 6

Vamos agora calcular a estimativa final:

Resposta

A estimativa de usando aproximação linear é aproximadamente .

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