Use a aproximação linear para estimar os seguintes valores
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a aproximação linear, que basicamente é uma forma de estimar valores de funções usando a reta tangente. O objetivo aqui é encontrar uma estimativa para . Para isso, vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função e usar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que estamos trabalhando. Vamos chamar de a função que queremos aproximar:
Escolhemos um ponto próximo de 50 onde é fácil calcular e a derivada . Um bom candidato é , porque , o que simplifica os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular e a derivada .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, encontramos a derivada de . A derivada de é:
Agora, avaliamos a derivada em :

Passo 4

Com e calculados, usamos a fórmula da aproximação linear:
Aqui, queremos aproximar , então e (porque ).
Substituindo os valores:

Resposta

Usando a aproximação linear, estimamos que é aproximadamente 0,1414.

Exercícios relacionados

Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.
Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
.
Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.