Use a aproximação linear
para estimar os seguintes valores
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a aproximação linear, que basicamente é uma forma de estimar valores de funções usando a reta tangente. O objetivo aqui é encontrar uma estimativa para
. Para isso, vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função e usar a fórmula da aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que estamos trabalhando. Vamos chamar de
a função que queremos aproximar:
Escolhemos um ponto
próximo de 50 onde é fácil calcular
e a derivada
. Um bom candidato é
, porque
, o que simplifica os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e a derivada
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, encontramos a derivada de
. A derivada de
é:
Agora, avaliamos a derivada em
:
Passo 4
Com
e
calculados, usamos a fórmula da aproximação linear:
Aqui, queremos aproximar
, então
e
(porque
).
Substituindo os valores:
Resposta
Usando a aproximação linear, estimamos que
é aproximadamente 0,1414.
Exercícios relacionados
Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.
Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
.
Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.