Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o conceito de diferenciais para encontrar uma aproximação para . Isso envolve cálculo de funções, especificamente utilizando a derivada para estimar valores próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que representa a quantidade que queremos aproximar. Seja . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Escolhemos um valor de próximo a 82 onde o cálculo de seja fácil. Vamos escolher , já que , porque .

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a .

Passo 5

Vamos avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que , então . Portanto:

Passo 6

Usamos a fórmula da aproximação linear:
Onde .

Passo 7

Calculando a variação aproximada:

Passo 8

Aproximamos usando:

Resposta

Usando diferenciais, uma aproximação para é aproximadamente .

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Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
.
Ache, para os valores dados entre parênteses, e .
Use a aproximação linear para estimar os seguintes valores
.
Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.