Nos exercícios de (1) e (2), dado , um ponto e um vetor unitário , encontre: (a) O gradiente de em .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função , um ponto e um vetor unitário . O que a questão quer é que a gente encontre o gradiente de no ponto .
Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente a ideia de gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento da função em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais da função em relação às suas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis. Matemáticamente, é representado por:
Isso significa que, para cada variável, a gente calcula a derivada parcial e forma o vetor gradiente com esses valores.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao ponto . Suponha que tenha coordenadas . O gradiente de em será:
Ou seja, a gente calcula cada derivada parcial no ponto específico .
Passo 4
Então, para encontrar o gradiente de em , siga esses passos:
Identifique todas as variáveis da função .
Calcule a derivada parcial de em relação a cada uma dessas variáveis.
Avalie cada derivada parcial no ponto .
Monte o vetor gradiente com esses valores.
Passo 5
Vamos dar um exemplo rápido para fixar a ideia. Imagine que e queremos encontrar o gradiente no ponto .