Nos exercícios de (1) e (2), dado , um ponto e um vetor unitário , encontre: (a) O gradiente de em .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função , um ponto e um vetor unitário . O que a questão quer é que a gente encontre o gradiente de no ponto .
Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente a ideia de gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento da função em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais da função em relação às suas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis. Matemáticamente, é representado por:
Isso significa que, para cada variável, a gente calcula a derivada parcial e forma o vetor gradiente com esses valores.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao ponto . Suponha que tenha coordenadas . O gradiente de em será:
Ou seja, a gente calcula cada derivada parcial no ponto específico .

Passo 4

Então, para encontrar o gradiente de em , siga esses passos:
  1. Identifique todas as variáveis da função .
  2. Calcule a derivada parcial de em relação a cada uma dessas variáveis.
  3. Avalie cada derivada parcial no ponto .
  4. Monte o vetor gradiente com esses valores.

Passo 5

Vamos dar um exemplo rápido para fixar a ideia. Imagine que e queremos encontrar o gradiente no ponto .
  1. As variáveis são e .
  2. As derivadas parciais são:
  3. Avaliando no ponto :
  4. Então, o gradiente em é:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos de , onde:
(b) .
Suponha que cada uma das equações abaixo defina como uma função de e . Encontre e . Dados: (a)
Nos exercícios de (1) e (2), determine a derivada direcional no ponto , onde é um vetor unitário na direção . Além disso, calcule em quando for um vetor unitário que maximiza a derivada direcional de naquele ponto.