Determine os pontos críticos das seguintes funções:
(b) f(x) = x / (1 + x^2)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada . Como a função é uma fração, vamos usar a regra do quociente. Essa regra nos ajuda a derivar funções que são expressas como uma divisão de duas outras funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que se , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas de e :
Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Então, a derivada da função é .

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde a derivada é zero ou onde ela não existe. Olhando para , vemos que o denominador nunca é zero, então a derivada sempre existe. Sendo assim, vamos resolver:

Passo 7

Resolvendo a equação:
Portanto, os valores de são e .

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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