Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Vamos determinar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar as derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar onde a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e encontrar onde ambas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é representada por
. A derivada de
em relação a
é zero porque
é tratado como uma constante. Já a derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
. Assim:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da primeira equação,
. Como
nunca é zero, isso implica que
.
Substituindo
na segunda equação:
Resposta
O único ponto crítico da função é
.
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Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Converta as coordenadas
de esféricas para cilíndricas.
Encontre o limite: