Determine os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

Vamos determinar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar as derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar onde a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e encontrar onde ambas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é representada por . A derivada de em relação a é zero porque é tratado como uma constante. Já a derivada de em relação a é . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por . A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é . Assim:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da primeira equação, . Como nunca é zero, isso implica que .
Substituindo na segunda equação:

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas.
Encontre o limite: