Encontre o limite:
lim (x, y, z) (1,2,1)(e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3 x y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de três variáveis à medida que (e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3xyz) se aproxima de . A função que a gente tem é:
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente usando propriedades básicas de limites e algumas manobras algébricas.

Passo 2

Primeira componente: limx to 1 e^x-1 = e^1-1 = e^0 = 1
Aqui, a gente tem a função exponencial . Sabemos que funções exponenciais são contínuas, o que significa que podemos simplesmente substituir o valor que está se aproximando:
Então, a primeira componente do limite é 1.

Passo 3

Segunda componente: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Essa parte parece um pouco mais complicada, mas vamos simplificar. Primeiro, note que y(x-1)(x - 1)(x + 1) = yx + 1 pode ser fatorado:
lim(x, y) to (1, 2) yx + 1 = 21 + 1 = 22 = 1
Então, a expressão fica:
Agora, como se aproxima de 1 e se aproxima de 2, podemos substituir diretamente:
Portanto, a segunda componente do limite também é 1.

Passo 4

Terceira componente: lim(x, y, z) to (1, 2, 1) 3xyz = 3 times 1 times 2 times 1 = 6
Essa parte é direta. Basta substituir os valores para , e :
Então, a terceira componente do limite é 6.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados