Encontre o limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de três variáveis à medida que se aproxima de . A função que a gente tem é:
Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente usando propriedades básicas de limites e algumas manobras algébricas.

Passo 2

Primeira componente:
Aqui, a gente tem a função exponencial . Sabemos que funções exponenciais são contínuas, o que significa que podemos simplesmente substituir o valor que está se aproximando:
Então, a primeira componente do limite é 1.

Passo 3

Segunda componente:
Essa parte parece um pouco mais complicada, mas vamos simplificar. Primeiro, note que pode ser fatorado:
Então, a expressão fica:
Agora, como se aproxima de 1 e se aproxima de 2, podemos substituir diretamente:
Portanto, a segunda componente do limite também é 1.

Passo 4

Terceira componente:
Essa parte é direta. Basta substituir os valores para , e :
Então, a terceira componente do limite é 6.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas.
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Use a fórmula para obter , sabendo que
Encontre um vetor unitário na direção do qual cresce mais rapidamente em e obtenha a taxa de variação de em nessa direção.