Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
f(x) = ln(x) + x^2, onde x > 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função , onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
A função dada é:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então, a derivada da função completa é:

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 5

Multiplicando todos os termos por para eliminar a fração:
Agora, isolamos :

Passo 6

Observamos que não pode ser negativo, já que o quadrado de um número real é sempre positivo ou zero. Portanto, não existe nenhum valor real de que satisfaça essa equação.

Resposta

A função não possui pontos críticos no domínio .

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