Determine os pontos da curva
em que a tangente à curva é paralela à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação
e precisa encontrar os pontos dessa curva onde a tangente é paralela à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a tangente ser paralela a uma reta. Duas retas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular (ou seja, mesma inclinação). Então, precisamos descobrir o coeficiente angular da reta dada
.
Passo 3
Vamos transformar a equação da reta para a forma
, onde
é o coeficiente angular:
Então, o coeficiente angular da reta é
.
Passo 4
Agora, queremos que a tangente à curva
também tenha esse coeficiente angular
. Para encontrar o coeficiente angular da tangente à curva em qualquer ponto, precisamos calcular a derivada da função.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 6
Queremos que essa inclinação seja igual a
. Então, montamos a equação:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Passo 8
Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 3:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Passo 10
Então, a única solução é:
Passo 11
Agora que temos
, vamos encontrar o valor correspondente de
na curva original:
Resposta
Os pontos da curva onde a tangente é paralela à reta dada são
.