Determine os pontos da curva em que a tangente à curva é paralela à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação e precisa encontrar os pontos dessa curva onde a tangente é paralela à reta . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a tangente ser paralela a uma reta. Duas retas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular (ou seja, mesma inclinação). Então, precisamos descobrir o coeficiente angular da reta dada .

Passo 3

Vamos transformar a equação da reta para a forma , onde é o coeficiente angular:
Então, o coeficiente angular da reta é .

Passo 4

Agora, queremos que a tangente à curva também tenha esse coeficiente angular . Para encontrar o coeficiente angular da tangente à curva em qualquer ponto, precisamos calcular a derivada da função.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 6

Queremos que essa inclinação seja igual a . Então, montamos a equação:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :

Passo 8

Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 3:

Passo 9

Agora, resolvemos a equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:

Passo 10

Então, a única solução é:

Passo 11

Agora que temos , vamos encontrar o valor correspondente de na curva original:

Resposta

Os pontos da curva onde a tangente é paralela à reta dada são .

Exercícios relacionados

Verifique se é possível encontrar um número real medida de área da região entre os gráficos de: e , situada à esquerda do eixo .
Achar os pontos em que as seguintes curvas têm tangentes paralelas ao eixo das abscissas:
(a)
(b)
©
(d)
Determine os pontos extremos das funções:
Determine o valor médio de cada função abaixo nos intervalos indicados e o valor de em que isso ocorre: em