Determine se os pontos de descontinuidade da função
são removível ou essencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir se os pontos de descontinuidade dessa função são removíveis ou essenciais. Para isso, vamos precisar entender o que são esses tipos de descontinuidade e como identificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . A simplificação vai nos ajudar a ver se há algum ponto problemático além de .
Factorizando o numerador:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, podemos simplificar para , desde que . Portanto, para todos os valores de diferentes de , a função é igual a:

Passo 4

Vamos analisar o ponto . A função original não está definida em na parte racional, mas temos uma definição específica para esse ponto: .
Para identificar o tipo de descontinuidade, precisamos ver o limite da função quando se aproxima de :

Passo 5

Agora, comparamos esse limite com o valor da função em :
Como o limite quando se aproxima de não é igual ao valor da função nesse ponto, há uma descontinuidade em .

Passo 6

Além disso, vemos que a descontinuidade ocorre porque a função teria uma definição removível em se fosse igual ao limite. Porém, como , a descontinuidade é essencial, já que não conseguimos “remover” a descontinuidade simplesmente ajustando o valor da função em .

Resposta

A função possui uma descontinuidade essencial em .

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