Determine se os pontos de descontinuidade da função
são removível ou essencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir se os pontos de descontinuidade dessa função são removíveis ou essenciais. Para isso, vamos precisar entender o que são esses tipos de descontinuidade e como identificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. A simplificação vai nos ajudar a ver se há algum ponto problemático além de
.
Factorizando o numerador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, podemos simplificar
para
, desde que
. Portanto, para todos os valores de
diferentes de
, a função é igual a:
Passo 4
Vamos analisar o ponto
. A função original não está definida em
na parte racional, mas temos uma definição específica para esse ponto:
.
Para identificar o tipo de descontinuidade, precisamos ver o limite da função quando
se aproxima de
:
Passo 5
Agora, comparamos esse limite com o valor da função em
:
Como o limite quando
se aproxima de
não é igual ao valor da função nesse ponto, há uma descontinuidade em
.
Passo 6
Além disso, vemos que a descontinuidade ocorre porque a função teria uma definição removível em
se
fosse igual ao limite. Porém, como
, a descontinuidade é essencial, já que não conseguimos “remover” a descontinuidade simplesmente ajustando o valor da função em
.
Resposta
A função possui uma descontinuidade essencial em
.
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, no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de
:
Mostre as identidades trigonométricas:
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