Determine os pontos de descontinuidade da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os pontos de descontinuidade da função
. A matéria que estamos lidando aqui é Análise de Funções, especificamente focando em funções racionais e onde elas podem ter descontinuidades. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como identificar onde uma função não está definida e verificar se essas descontinuidades são removíveis ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade. Uma função tem ponto de descontinuidade em algum valor de
se ela não está definida naquele ponto ou se há um “salto” no gráfico. No caso de funções racionais, como a nossa função
, as descontinuidades geralmente acontecem onde o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Passo 3
Vamos identificar onde o denominador da nossa função é zero. O denominador é
. Então, vamos resolver a equação:
Isso significa que
é um ponto onde a função
não está definida, o que é um possível ponto de descontinuidade.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa descontinuidade é removível ou não. Para isso, vamos simplificar a função
fatorando o numerador.
Procure dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, podemos fatorar o numerador assim:
Agora, substituímos na função original:
Passo 5
Observamos que o termo
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar a função:
A simplificação mostra que, para todos os valores de
exceto
, a função é contínua e igual a
. No entanto, no ponto
, a função original não está definida, mesmo depois da simplificação. Isso significa que a descontinuidade em
é removível, ou seja, podemos “preencher” esse ponto com o valor
para tornar a função contínua.
Resposta
A função
possui um ponto de descontinuidade em
, que é removível.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
definidas por:
(b) Calcule
.
Considere as funções
e
definidas por:
(a) Determine a função composta
.
Seja
. Verifique se
é contínua em
.
Considere as funções
e
definidas por:
© Encontre a função composta
.