Escreva equações vetorial e paramétricas para os seguintes plano:
(a) O plano que passa pelos pontos A=(1,3,2), B=(5,-2,3) e C= (2,8,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente escrever as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa por três pontos dados: A=(1,3,2), B=(5,-2,3) e C=(2,8,1). Vamos usar a geometria analítica para isso. Precisaremos achar vetores que estão no plano e depois usar o produto vetorial para encontrar o vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos chamar de AB o vetor que vai de A para B e de AC o vetor que vai de A para C.
AB = B - A = (5-1, -2-3, 3-2) = (4, -5, 1)
AC = C - A = (2-1, 8-3, 1-2) = (1, 5, -1)

Passo 3

Agora que temos dois vetores no plano, precisamos encontrar o vetor normal ao plano. Isso a gente faz usando o produto vetorial entre AB e AC.
n = AB times AC
Vamos calcular isso:
n = i & j & k 4 & -5 & 1 1 & 5 & -1 = i((-5)(-1) - (1)(5)) - j((4)(-1) - (1)(1)) + k((4)(5) - (-5)(1))
n = i(5 - 5) - j(-4 -1) + k(20 +5) = i(0) - j(-5) + k(25)
n = (0, 5, 25)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 5:
n = (0, 1, 5)

Passo 4

Com o vetor normal n e o ponto A, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação geral do plano é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde (0, 1, 5) cdot ((x, y, z) - (1, 3, 2)) = 0 é um ponto qualquer no plano e 0(x-1) + 1(y-3) + 5(z-2) = 0 é um ponto conhecido no plano (neste caso, A).
Substituindo os valores:
y - 3 + 5z - 10 = 0 implies y + 5z = 13

Passo 5

Agora vamos escrever a equação vetorial. Sabemos que o vetor posição r = r0 + sAB + tAC pode ser expresso como:
r = (1, 3, 2) + s(4, -5, 1) + t(1, 5, -1)
Onde e são parâmetros. Então:

Passo 6

Por fim, vamos obter as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial, podemos separar cada componente:
x = 1 + 4s + t
y = 3 - 5s + 5t
z = 2 + s - t

Resposta

As equações vetorial e paramétricas do plano são:
Equação vetorial:
r = (1, 3, 2) + s(4, -5, 1) + t(1, 5, -1)
Equações paramétricas:
x = 1 + 4s + t
y = 3 - 5s + 5t
z = 2 + s - t

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