Verifique que 0 , 1 e 2 constituem uma órbita periódica do mapa:
e determine a sua estabilidade. Explique a sua abordagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se os números 0, 1 e 2 formam uma órbita periódica para o mapa dado pela função:
Depois, vamos determinar se essa órbita é estável ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre mapas iterativos e estabilidade de órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma órbita periódica. Basicamente, é uma sequência de valores que se repete depois de um certo número de etapas. No caso, temos os números 0, 1 e 2 repetindo em ciclo: 0 → 1 → 2 → 0 → 1 → 2 → …
Para verificar se isso realmente acontece com a nossa função
, vamos calcular passo a passo.
Passo 3
Vamos começar com
:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos
usando
:
Então,
.
Passo 5
Continuando, calculamos
usando
:
Então,
.
Passo 6
Observamos que
, que é onde começamos. Isso mostra que a sequência
se repete indefinidamente. Portanto, 0, 1 e 2 formam uma órbita periódica de período 3 para a função
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a estabilidade dessa órbita. Para isso, precisamos calcular a derivada da função
:
A estabilidade de uma órbita periódica depende do produto das derivadas nos pontos da órbita. Se o valor absoluto desse produto for menor que 1, a órbita é estável; se for maior que 1, é instável.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas nos pontos 0, 1 e 2:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 9
Agora, calculamos o produto das derivadas:
O valor absoluto de 4.375 é maior que 1.
Resposta
A órbita periódica formada por 0, 1 e 2 para a função
é instável, pois o produto das derivadas nos pontos da órbita é maior que 1.
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e
?)
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, satisfazem a equação:
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Mosre que
.
Para um mesmo valor de
, o comportamento dinâmico calculado numericamente pode variar radicalmente, alterando-se o valor do passo de integração
.
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Discuta os possíveis comportamentos, como função de