Verifique que 0 , 1 e 2 constituem uma órbita periódica do mapa:
x_{n+1} = f(x_{n}) = -3/2 * x_{n}^{2} + 5/2 * x_{n} + 1
e determine a sua estabilidade. Explique a sua abordagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se os números 0, 1 e 2 formam uma órbita periódica para o mapa dado pela função:
x_{n+1} = f(x_{n}) = -3/2 * x_{n}^{2} + 5/2 * x_{n} + 1
Depois, vamos determinar se essa órbita é estável ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre mapas iterativos e estabilidade de órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma órbita periódica. Basicamente, é uma sequência de valores que se repete depois de um certo número de etapas. No caso, temos os números 0, 1 e 2 repetindo em ciclo: 0 → 1 → 2 → 0 → 1 → 2 → …
Para verificar se isso realmente acontece com a nossa função , vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Vamos começar com :
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos usando :
Então, .

Passo 5

Continuando, calculamos usando :
Então, .

Passo 6

Observamos que , que é onde começamos. Isso mostra que a sequência se repete indefinidamente. Portanto, 0, 1 e 2 formam uma órbita periódica de período 3 para a função .

Passo 7

Agora, vamos determinar a estabilidade dessa órbita. Para isso, precisamos calcular a derivada da função :
A estabilidade de uma órbita periódica depende do produto das derivadas nos pontos da órbita. Se o valor absoluto desse produto for menor que 1, a órbita é estável; se for maior que 1, é instável.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas nos pontos 0, 1 e 2:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Agora, calculamos o produto das derivadas:
O valor absoluto de 4.375 é maior que 1.

Resposta

A órbita periódica formada por 0, 1 e 2 para a função é instável, pois o produto das derivadas nos pontos da órbita é maior que 1.

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