Escreva um algoritmo (pode ser em pseudo-código ou C) para geração da matriz de recorrência do mapa de tenda, para e para as primeiras 1000 iterações do mapa.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Basicamente, você precisa criar um algoritmo para gerar a matriz de recorrência do mapa de tenda com os parâmetros e nas primeiras 1000 iterações. Vamos usar conceitos de mapas dinâmicos e matrizes de recorrência. Para isso, vamos precisar entender como o mapa de tenda funciona e como construir a matriz de recorrência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o mapa de tenda. O mapa de tenda é uma função matemática que gera uma sequência de números (iterações) a partir de um valor inicial . A fórmula do mapa de tenda é:
Aqui, é um parâmetro que controla o comportamento do mapa. No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma matriz de recorrência. Essa matriz nos ajuda a visualizar quando os pontos da sequência de iterações retornam próximos uns dos outros. Cada elemento será 1 se a iteração estiver próxima da iteração , e 0 caso contrário. Para determinar se estão próximas, definimos um limiar de proximidade, digamos .

Passo 4

Com isso em mente, vamos esboçar o algoritmo passo a passo:
  1. Inicializar:
    • Definir os parâmetros e .
    • Criar uma lista para armazenar as 1000 iterações do mapa de tenda.
    • Criar uma matriz de tamanho inicializada com zeros.
  2. Gerar as iterações:
    • Usar a fórmula do mapa de tenda para calcular cada a partir de .
  3. Construir a matriz de recorrência:
    • Para cada par de iterações , verificar se .
    • Se sim, definir , senão, manter 0.

Passo 5

Vamos traduzir isso para um pseudo-código. Isso ajudará a visualizar melhor o que precisamos fazer.
# Inicialização
mu = 1.5
x0 = 0.2
num_iter = 1000
epsilon = 0.01

# Lista para armazenar iterações
iteracoes = [x0]

# Matriz de Recorrência inicializada com zeros
M = matriz[1000][1000] preenchida com 0

# Gerar as iterações do mapa de tenda
para n de 1 até num_iter - 1 faça:
    xn = iteracoes[n-1]
    se xn < 0.5 então
        x_next = mu * xn
    senão
        x_next = mu * (1 - xn)
    fim se
    iteracoes.adicionar(x_next)

# Construir a matriz de recorrência
para i de 0 até num_iter - 1 faça:
    para j de 0 até num_iter - 1 faça:
        se |iteracoes[i] - iteracoes[j]| < epsilon então
            M[i][j] = 1
        fim se
    fim para
fim para

# Exibir ou retornar a matriz M
retornar M

Resposta

Esse algoritmo gera as 1000 iterações do mapa de tenda com e , e constrói a matriz de recorrência onde cada elemento indica se as iterações e estão próximas dentro do limiar definido por . Você pode implementar esse pseudo-código em C ou na linguagem de sua preferência para obter a matriz de recorrência desejada.

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Mosre que .