com as condições de contorno dadas.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace que é dada por:
O objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz essa equação sob as condições de contorno fornecidas. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica comum em equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis:
Substituímos isso na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a duas equações ODEs separadas:
onde é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para :
As condições de contorno para são:
Isso implica que:
A solução geral para com essas condições é:
onde é um inteiro positivo.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para :
Substituindo , a solução geral é:
Aplicamos a condição de contorno:
Isso leva a:
Resolvendo para :

Passo 5

Finalmente, a solução geral para é uma soma das soluções separadas para cada modo :
Usamos a condição de contorno para determinar os coeficientes através da série de Fourier:
Calculando os coeficientes :

Resposta

A solução da equação de Laplace com as condições de contorno fornecidas é:
Essa série de Fourier representa a função que satisfaz a equação de Laplace e as condições de contorno dadas.

Exercícios relacionados

Determine em que pontos a função é contínua.
sujeita às condições indicadas.
a)
Calcule os limites:
Calcule os limites: