Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace que é dada por:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b
O objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz essa equação sob as condições de contorno fornecidas. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica comum em equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis:
u(x, y) = X(x) Y(y)
Substituímos isso na equação de Laplace:
X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 :
X''(x)X(x) = -lambda e Y''(y)Y(y) = lambda
Isso nos leva a duas equações ODEs separadas:
onde é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para Y''(y) - lambda Y(y) = 0 :
Finalmente, a solução geral para u(x, y) = sumn=0^infty An cos(n xpi) cos(n ypi) é uma soma das soluções separadas para cada modo g(y) = sumn=0^infty An cos(n ypi) :
An = 2pi integral0^pi g(y) cos(n ypi) dy
Usamos a condição de contorno para determinar os coeficientes através da série de Fourier:
Calculando os coeficientes :
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno fornecidas é: