Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace que é dada por:
O objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz essa equação sob as condições de contorno fornecidas. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica comum em equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis:
Substituímos isso na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a duas equações ODEs separadas:
onde é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para :
As condições de contorno para são:
Isso implica que:
A solução geral para com essas condições é:
onde é um inteiro positivo.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para :
Substituindo , a solução geral é:
Aplicamos a condição de contorno:
Isso leva a:
Resolvendo para :
Passo 5
Finalmente, a solução geral para é uma soma das soluções separadas para cada modo :
Usamos a condição de contorno para determinar os coeficientes através da série de Fourier:
Calculando os coeficientes :
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno fornecidas é:
Essa série de Fourier representa a função que satisfaz a equação de Laplace e as condições de contorno dadas.